Александр Мясников родился 15 сентября 1953 года в Ленинграде, в семье потомственных врачей. Медицинская династия Мясниковых берёт начало в XIX веке (в городе Красный Холм Тверской области существует семейный музей)[3][4]. Является внуком Александра Леонидовича Мясникова (1899—1965), известного советского учёного, председателя Всероссийского общества терапевтов.

В 1976 году окончил Второй Московский медицинский институт имени Н. И. Пирогова, после чего до 1981 года проходил ординатуру и аспирантуру в Институте клинической кардиологии имени А. Л. Мясникова[3].

В 1981 году защитил кандидатскую диссертацию[3].

Работал врачом группы геологов в Африке, в Народной Республике Мозамбик. В 1983 году трудился в провинции Замбези врачом общей практики.

С 1984 по 1989 годы прослужил по направлению старшим группы советских врачей-консультантов правительственного госпиталя «Пренда» в Анголе[3].

Вернувшись в Москву совмещал работу врача-кардиолога во Всесоюзном кардиологическом научном центре и сотрудника медицинского отдела Международной организации по миграции[3].

В 1993—1996 годах работал врачом Посольства Российской Федерации во Франции, сотрудничал с ведущими медицинскими центрами Парижа[3].

С 1996 года трудился в США, где окончил ординатуру при Медицинском центре Нью-Йоркского государственного университета по специальности «врач общей практики». В 2000 году Американским комитетом по медицине ему было присвоено звание врача высшей категории. Член Американской медицинской ассоциации и Американской коллегии врачей[3]. В 2000 году вернулся в Россию.

С 2000 года Мясников стал работать в Москве сначала главным врачом Американского медицинского центра, затем главным врачом организованной им Американской клиники.

В 2009—2010 годах — главный врач Кремлёвской больницы Управления делами президента РФ. В это же время пробует себя в качестве телеведущего, в программе «Врача вызывали?»[5], выходившей на «Третьем канале» (затем — на телеканале «ТВЦ»), начинает вести медицинскую рубрику в программе Владимира Соловьёва и Анны Шафран «Полный контакт» на радио «Вести FM» (ведёт эту рубрику по настоящее время)[6].

С 2010 года по настоящее время является главным врачом Государственного бюджетного учреждения здравоохранения города Москвы «Городская клиническая больница имени М. Е. Жадкевича Департамента здравоохранения города Москвы»[1][2].

С 2012 по 2014 годы был ведущим телевизионной программы о здоровье «Скажите, доктор!» на канале «Раз ТВ».

С 2013 года — ведущий программы «О самом главном» на телеканале «Россия-1»[3][7][8].

Нередко принимает участие в качестве приглашённого гостя в программе «Вечер с Владимиром Соловьёвым» на телеканале «Россия-1»[9].

7 июня 2017 года Александр Мясников награждён почётным знаком «Заслуженный врач города Москвы» «за большой вклад в совершенствование и развитие здравоохранения, многолетнюю плодотворную работу по оказанию высококвалифицированной медицинской помощи жителям города Москвы и в связи с празднованием Дня медицинского работника»[1].

Член Общественной палаты города Москвы.